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趣味冰雹猜想

数学领域中有这样一个有趣的问题:任意给一个自然数N,如果它是偶数,就将它除以2,如果它是奇数,则对它乘3再加1,即将它变成对任意的一个自然数施行这种演算手续,经过有限步骤后,最后得到的数值必然是最小的自然数。这一问题被称之“冰雹猜想”,由于在一般情况下,冰雹猜想在演算时数值时大时小,恰如天降冰雹时尺寸的忽大忽小,所以得名。

根据上面的描述,我们以N=9为例进行说明:

9×3+1=28,28÷2=14,14÷2=7,7×3+1=22,22÷2=11,11×3+1=34,34÷2=17,17×3+1=52,52÷2=26,26÷2=13,13×3+1=40,40÷2=20,20÷2=10,10÷2=5,5×3+1=16,16÷2=8,8÷2=4,4÷2=2,2÷2=1。

按照特定的规律进行19次演算之后,最终得到的数值为1,即最小自然数,而其中整个演算的路径长度为19。

这一猜想有一个特殊的情况,当N为2的正整数方幂时,会随着演算的进行,数值始终处于减小趋势。除了最终的1之外,演算过程中得到的所有数值都是偶数,所以整个路径长度都非常短。

虽然从形式上看,冰雹猜想的最终演算结果为1,但其实这是一种较为方便的说法。严格说,对于目前所尝试的所有初始值而言,最终的演算都是以 “4→2→1”为结尾。

不仅如此,人们在后续对冰雹猜想做了很多改动或推广,同样发现了很多有趣的结论。比如倘若将冰雹猜想做如下变动:任意给一个自然数N,如果它是偶数,就将它除以2,如果它是奇数,则对它乘3再减1。如此演算之后,经过有限的路径长度,最终的结果必然会出现以下三种形式的循环:

① 1→2→1;

② 5→14→7→20→10→5;

③ 17→50→25→74→37→110→55→164→82→41→122→61→182→91→272→136→68→34→17。

虽然现阶段通过大量的列举满足了冰雹猜想的规律,但并没有人通过数学的方法来证明,故只能将其称之为猜想。但这一科学假说的提出,对数学之路的探索起到了非常重要的作用。相信在不远的未来,冰雹猜想能够通过某种方式得以证明。

来源:新华网


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